Mọi quan hệ hai ngôi R {\displaystyle R} trên tập hợp S {\displaystyle S} có thể mở rộng thành tiền thứ tự trên S {\displaystyle S} bằng cách lấy bao đóng bắc cầu và bao đóng phản xạ, R + = . {\displaystyle R^{+=}.} Bao đóng bắc cầu nghĩa là có quan hệ đường đi R : x R + y {\displaystyle R:xR^{+}y} khi và chỉ khi có R {\displaystyle R} -đường đi từ x {\displaystyle x} đến y . {\displaystyle y.}

Tiền thứ tự thặng dư trái cảm sinh bởi quan hệ hai ngôi

Cho quan hệ hai ngôi R , {\displaystyle R,} phần bù của hợp R ∖ R = R T ∘ R ¯ ¯ {\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}} tạo thành một tiền thứ tự được gọi là phần thặng dư trái,[5] trong đó R T {\displaystyle R^{\textsf {T}}} là quan hệ ngược của R , {\displaystyle R,} và R ¯ {\displaystyle {\overline {R}}} ký hiệu quan hệ bù của R , {\displaystyle R,} trong khi ∘ {\displaystyle \circ } là phép hợp quan hệ.

Tiền thứ tự và thứ tự riêng phần trên phân hoạch tập hợp

Cho tiền thứ tự ≲ {\displaystyle \,\lesssim \,} trên S {\displaystyle S} , ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương trên ∼ {\displaystyle \,\sim \,} trên S {\displaystyle S} sao cho

Quan hệ thu được ∼ {\displaystyle \,\sim \,} có tính phản xạ bởi ≲ {\displaystyle \,\lesssim \,} phản xạ; có tính bắc cầu bằng cách áp dụng tính bắc cầu của ≲ {\displaystyle \,\lesssim \,} hai lần; và có tính đối xứng theo định nghĩa.

Dùng quan hệ này, ta có thể xây quan hệ thứ tự riêng phần trên tập thương của quan hệ tương đương S / ∼ , {\displaystyle S/\sim ,} , tập thương là tập của tất cả các lớp tương đương của ∼ . {\displaystyle \,\sim .} Nếu tiền thứ tự được ký hiệu là R + = , {\displaystyle R^{+=},} thì S / ∼ {\displaystyle S/\sim } là tập hợp của các lớp tương đương R {\displaystyle R} -chu trình: x ∈ [ y ] {\displaystyle x\in [y]} khi và chỉ khi x = y {\displaystyle x=y} hoặc x {\displaystyle x} nằm trong R {\displaystyle R} -chu trình của y {\displaystyle y} .Trong bất kỳ trường hợp, có thể định nghĩa trên S / ∼ {\displaystyle S/\sim } quan hệ [ x ] ≤ [ y ] {\displaystyle [x]\leq [y]} khi và chỉ khi x ≲ y . {\displaystyle x\lesssim y.} Định nghĩa này hoàn toàn xác định bởi điều kiện định nghĩa của nó không phụ thuộc vào lựa chọn đại diện của [ x ] {\displaystyle [x]} và [ y ] {\displaystyle [y]} . Ta có thể kiểm chứng tập hợp này là tập sắp thứ tự riêng phần.

Ngược lại, từ bất kỳ quan hệ thứ tự riêng phần trên S , {\displaystyle S,} ta có thể xây dựng tiền thứ tự trên chính S {\displaystyle S} , bởi có tương ứng một-một giữa tập tiền thứ tự và các cặp (phân hoạch, thứ tự riêng phần).

Ví dụ: Cho S {\displaystyle S} là lý thuyết hình thức, tức là tập của các câu có tính chất đặc biệt (nội dung này có thể xem thêm trong bài viết về chủ đề đó). Chẳng hạn như, S {\displaystyle S} có thể là lý thuyết bậc nhất (ví dụ lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel) hoặc đơn giản hơn là lý thuyết bậc không. Một trong rất nhiều tính chất của S {\displaystyle S} là nó phải đóng dưới các hệ quả logic, ví dụ chẳng hạn, câu A ∈ S {\displaystyle A\in S} theo logic suy ra câu B , {\displaystyle B,} sẽ được viết là A ⇒ B {\displaystyle A\Rightarrow B} hoặc cũng được viết là B ⇐ A , {\displaystyle B\Leftarrow A,} do đó phải B ∈ S {\displaystyle B\in S} (theo modus ponens).

Quan hệ ⇐ {\displaystyle \,\Leftarrow \,} là tiền thứ tự trên S {\displaystyle S} bởi A ⇐ A {\displaystyle A\Leftarrow A} luôn đúng và bất cứ khi nào A ⇐ B {\displaystyle A\Leftarrow B} và B ⇐ C {\displaystyle B\Leftarrow C} đều đúng thì cũng A ⇐ C . {\displaystyle A\Leftarrow C.} HƠn nữa, cho bất kỳ A , B ∈ S , {\displaystyle A,B\in S,} A ∼ B {\displaystyle A\sim B} khi và chỉ khi A ⇐ B  và  B ⇐ A {\displaystyle A\Leftarrow B{\text{ và }}B\Leftarrow A} ; tức là, hai câu tương đương với nhau tương ứng với quan hệ ⇐ {\displaystyle \,\Leftarrow \,} khi và chỉ khi chúng tương đương logic với nhau. Quan hệ tương đương cụ thể này A ∼ B {\displaystyle A\sim B} thường được ký hiệu bằng ký hiệu riêng của nó A ⟺ B , {\displaystyle A\iff B,} và do vậy, ký hiệu ⟺ {\displaystyle \,\iff \,} có thể dùng thay ∼ . {\displaystyle \,\sim .} Lớp tương đương của câu A , {\displaystyle A,} được ký hiệu bởi [ A ] , {\displaystyle [A],} bao gồm tất cả các câu B ∈ S {\displaystyle B\in S} tương đương logic với A {\displaystyle A} (tức là, tất cả các câu B ∈ S {\displaystyle B\in S} sao cho A ⟺ B {\displaystyle A\iff B} ). Quan hệ thứ tự riêng phần trên S / ∼ {\displaystyle S/\sim } cảm sinh bởi ⇐ , {\displaystyle \,\Leftarrow ,\,} sẽ được ký hiệu cùng ký hiệu ⇐ , {\displaystyle \,\Leftarrow ,\,} định nghĩa như sau: [ A ] ⇐ [ B ] {\displaystyle [A]\Leftarrow [B]} khi và chỉ khi A ⇐ B , {\displaystyle A\Leftarrow B,} trong đó điều kiện vế phải không phụ thuộc lựa chọn đại diện câu A ∈ [ A ] {\displaystyle A\in [A]} và B ∈ [ B ] {\displaystyle B\in [B]} của các lớp tương đương. Tất cả những gì đã nói về ⇐ {\displaystyle \,\Leftarrow \,} có thể áp dụng tương tự cho quan hệ ngược ⇒ . {\displaystyle \,\Rightarrow .\,} Tập sắp tiền thứ tự ( S , ⇐ ) {\displaystyle (S,\Leftarrow )} là tập có hướng bởi nếu A , B ∈ S {\displaystyle A,B\in S} và nếu C := A ∧ B {\displaystyle C:=A\wedge B} ký hiệu câu được lập bởi phép hội logic ∧ , {\displaystyle \,\wedge ,\,} thì A ⇐ C {\displaystyle A\Leftarrow C} và B ⇐ C {\displaystyle B\Leftarrow C} khi C ∈ S . {\displaystyle C\in S.} Do vậy, theo hệ quả, tập ( S / ∼ , ⇐ ) {\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)} cũng là tập có hướng. Xem đại số Lindenbaum–Tarski để thêm ví dụ.

Tiền thứ tự nghiêm ngặt

Tiền thứ tự nghiêm ngặt cảm sinh bởi tiền thứ tự

Cho tiền thứ tự ≲ , {\displaystyle \,\lesssim ,} một quan hệ mới < {\displaystyle \,<\,} có thể định nghĩa theo a < b {\displaystyle a<b} khi và chỉ khi a ≲ b  và không  b ≲ a . {\displaystyle a\lesssim b{\text{ và không }}b\lesssim a.} Sử dụng quan hệ tương đương ∼ {\displaystyle \,\sim \,} giới thiệu ở trên, a < b {\displaystyle a<b} khi và chỉ khi a ≲ b  và không  a ∼ b ; {\displaystyle a\lesssim b{\text{ và không }}a\sim b;} do đó thoả mãn mệnh đề sau

Quan hệ < {\displaystyle \,<\,} là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt và mọi thứ tự riêng phần nghiêm ngặt đều có thể xây dựng theo cách này. Nếu tiền thứ tự ≲ {\displaystyle \,\lesssim \,} phản đối xứng (và do đó là quan hệ thứ tự riêng phần) thì quan hệ tương đương ∼ {\displaystyle \,\sim \,} là quan hệ bằng nhau (tức là, a ∼ b {\displaystyle a\sim b} khi và chỉ khi a = b {\displaystyle a=b} ), do vậy trong trường hợp này, định nghĩa của < {\displaystyle \,<\,} có thể phát biểu lại thành:

Quan trọng hơn, điều kiện mới này không được dùng (hay tương đương với) định nghĩa chung của quan hệ < {\displaystyle \,<\,} (tức là, < {\displaystyle \,<\,} không được định nghĩa: a < b {\displaystyle a<b} khi và chỉ khi a ≲ b  và  a ≠ b {\displaystyle a\lesssim b{\text{ và }}a\neq b} ) bởi vì nếu tiền thứ tự ≲ {\displaystyle \,\lesssim \,} không phản đối xứng thì quan hệ thu được < {\displaystyle \,<\,} sẽ không có tính bắc cầu (xét quan hệ của các phần tử không bằng nhau). Đây cũng là lý do dùng " ≲ {\displaystyle \lesssim } " thay vì dấu "nhỏ hơn hoặc bằng ≤ {\displaystyle \leq } ", bởi dấu sau có thể gây nhầm lẫn do gợi ý rằng a ≤ b {\displaystyle a\leq b} tức a < b  hoặc  a = b . {\displaystyle a<b{\text{ hoặc }}a=b.}